NumPy 二项分布生成与 Seaborn 可视化技巧

二项分布

简介

二项分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，事件“成功”的次数的概率分布。它通常用于分析诸如抛硬币、做选择题等具有两个结果（成功或失败）的事件。

参数

二项分布用三个参数来定义：

n：试验次数，表示重复相同实验的次数。 p：每次试验中成功事件发生的概率。 k：成功事件发生的次数，范围为 0 到 n。

公式

二项分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在 n 次试验中恰好获得 k 次成功的概率，计算公式为：

P(k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)

其中：

C(n, k) 是组合数，表示从 n 个元素中选取 k 个元素的方案数。 p^k 表示 k 次成功的概率。 (1 - p)^(n - k) 表示 n - k 次失败的概率。

生成二项分布数据

NumPy 提供了 random.binomial() 函数来生成服从二项分布的随机数。该函数接受以下参数：

n：试验次数。 p：每次试验中成功事件发生的概率。 size：输出数组的形状。

示例：生成 10 次试验中，每次成功概率为 0.5 的事件的成功次数：

import numpy as np

data = np.random.binomial(n=10, p=0.5, size=10)
print(data)

可视化二项分布

Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布，包括二项分布。

示例：绘制 100 次试验中，每次成功概率为 0.6 的事件的成功次数分布：

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.binomial(n=100, p=0.6, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

正态分布与二项分布的关系

当试验次数 n 很大，成功概率 p 接近 0.5 时，二项分布可以近似为正态分布。其均值 μ 为 np，标准差 σ 为 sqrt(np(1 - p))。

示例：比较二项分布和正态分布的形状：

import seaborn as sns
import numpy as np

n = 100
p = 0.5

# 生成二项分布数据
data_binomial = np.random.binomial(n=n, p=p, size=1000)

# 生成正态分布数据
mu = n p
sigma = np.sqrt(n p (1 - p))
data_normal = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000)

sns.distplot(data_binomial, label="Binomial")
sns.distplot(data_normal, label="Normal")
plt.legend()
plt.show()

练习

在 50 次试验中，每次成功概率为 0.2 的事件，模拟成功次数并绘制分布图。
比较不同试验次数下二项分布形状的变化。
利用二项分布来模拟一次 10 道选择题的考试，每题答对的概率为 0.7，并计算平均分和及格率（60 分及格）。

解决方案

import seaborn as sns
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 模拟成功次数并绘制分布图
data = np.random.binomial(n=50, p=0.2, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

# 2. 比较不同试验次数下二项分布形状的变化
n_values = [10, 50, 100, 500]
for n in n_values:
    data = np.random.binomial(n=n, p=0.5, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"n={n}")
plt.legend()
plt.show()

# 3. 模拟考试成绩并计算平均分和及格率
scores