1. 单调性
对任一数列{xn},如果从某一项xk开始,满足:
则称数列(从第k项开始)是单调递增的。特别地,如果上式全部取小于号,则称数列是严格单调递增的。
同样地,如果从某一项k开始,满足:
则称数列(从第k项开始)是单调递减的。特别地,如果上式全部取大于号,则称数列是严格单调递减的。
单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。
2. 有界性
对任一数列{xn},如果存在某个实数A使数列的所有项都满足不等式:
恒成立,即∃A,使得:
则称这个数列是有下界的,实数A是数列的一个下界,记做:
如果存在某个实数B使数列的所有项都满足不等式:
恒成立,即∃B ,使得:
则称这个数列是有上界的,实数B是数列的一个上界,记做:
如果一个数列既有上界又有下界,则称这个数列是有界的。此时,存在一个正数M,使不等式:
成立。数列有界性的几何解释是:数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。
3. 引理:单调有界序列存在极限。
具体地说:
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