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题解
区间取反 $01$ 串的经典套路是差分。我们令 $b_i = a_i\ {\rm xor}\ a_{i - 1}$(${a_i}$ 表示原 $01$ 序列),这样每一次对一个长度为 $k$ 的区间取反只会使两个 $b_i$ 发生变化,不妨设为 $b_x, b_y(x < y)$,那么一定满足 $y - x = k$。而我们的目的就是使得差分后数组 $b$ 里的所有 $1$ 变为 $0$。
为了方便,接下来的分析均只使用差分后的数组 $b$。
首先很显然的是,模 $k$ 后值不同的位置绝不会互相影响。因此我们可以将所有位置 $i$ 按照模 $k$ 的值分组,模 $k$ 的值相同的位置属于同一组。那么对于每次询问,有解当且仅当 $b$ 数组的每一组在区间 $[l, r + 1]$ (由于是差分数组,因此要考虑位置 $r + 1$)内都恰好包含偶数个 $1$。奇偶性的判断通常用哈希完成,具体地,我们可以给同一组内所有满足 $b_i = 1$ 的位置 $i$ 赋一个相同的较大的随机值,不同的组赋不同的值,那么一段区间有解,一定满足区间内所有值的异或和为 $0$。这样,我们就能够在 $O(1)$ 的时间内判断区间是否有解。
接下来考虑如何计算最小操作次数。对于任意的 $j(0 \leq j < k)$,假设满足 $b_i = 1$ 且 $i\ {\rm mod}\ k = j$ 的所有位置 $i$ 从小到大分别为 $p_1, p_2, \cdots, p_{2t - 1}, p_{2t}$,那么考虑贪心,我们肯定是从左至右依次选择最近的两个 $p$ 消去,因此答案为 $\frac{(p_2 - p_1) + (p_4 - p_3) + \cdots + (p_{2t} - p_{2t - 1})}{k}$。我们可以设法维护这个式子的前缀和。在从左至右依次处理时,由于每一组内从右至左的第奇数个已处理的满足 $b_i = 1$ 的 $i$ 有正的贡献,第偶数个已处理的满足 $b_i = 1$ 的 $i$ 有负的贡献,而新的 $i$ 加入会导致奇偶性改变,即会发生正负交替,因此每加入一个 $b_i = 1$ 的 $i$ 时,我们直接将 $i\ {\rm mod}\ k$ 的所有位置的贡献和取反再加上 $i$,最后再添加到前缀和中即可。
最后注意由于每次询问 $[l, r]$ 时我们要强制使得 $a_{l - 1} = a_{r + 1} = 0$,因此区间的边界需要特殊处理。
这样,我们就在 $O(n + m)$ 的时间内解决了此题。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T> inline void read(T& x) {
char c = getchar();
bool f = false;
for (x = 0; !isdigit(c); c = getchar()) {
if (c == '-') {
f = true;
}
}
for (; isdigit(c); c = getchar()) {
x = x * 10 + c - '0';
}
if (f) {
x = -x;
}
}
template<typename T, typename... U> inline void read(T& x, U&... y) {
read(x), read(y...);
}
template<typename T> inline bool checkMax(T& a, const T& b) {
return a < b ? a = b, true : false;
}
template<typename T> inline bool checkMin(T& a, const T& b) {
return a > b ? a = b, true : false;
}
const int N = 2e6 + 10;
int n, k, m, s[N][3], v[N];
char str[N];
ull hash_val[N], pre[N];
inline ull get_random() {
return (1ull * rand() << 30) + (1ull * rand() << 15) + rand();
}
int main() {
read(n, k, m);
scanf("%s", str + 1), str[0] = '0';
for (register int i = 0; i < k; ++i) {
hash_val[i] = get_random();
}
for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
if (str[i] ^ str[i - 1]) {
pre[i] = pre[i - 1] ^ hash_val[i % k];
s[i][0] = s[i - 1][0] + i - (v[i % k] << 1);
v[i % k] = i - v[i % k];
} else {
pre[i] = pre[i - 1];
s[i][0] = s[i - 1][0];
}
s[i][1] = v[i % k];
s[i][2] = v[(i + 1) % k];
}
for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
int l, r; read(l, r);
ull t = pre[r] ^ pre[l];
int res = s[r][0] - s[l][0];
if (str[l] == '1') {
t ^= hash_val[l % k];
res -= l - (s[l][1] << 1);
}
if (str[r] == '1') {
t ^= hash_val[(r + 1) % k];
res += r + 1 - (s[r][2] << 1);
}
printf("%d\n", !t ? res / k : -1);
}
return 0;
}