题意

https://www.cometoj.com/contest/52/problem/C?problem_id=2416

思路

这里提供一种容斥的写法（？好像网上没看到这种写法）

题目要求编号为 $i$ 的节点不能放在 $p_i$ 位置，那我们不妨假设没有这些条件，然后再用二进制容斥的方法减去不满足条件的情况（即固定某些 $i$ 在 $p_i$ 上，这样会好考虑问题一点）。

然后我们面临的问题就是，计算 $A$（二进制）这些数不能选，$B$（二进制）这些位置不能填的方案数。我们枚举两个数，计算它们的对答案的贡献。设小的数为 $i$ ，大的数为 $j$ ，下面分四种情况讨论：

• $i,j$ 的位置均已确定

  若 $p_i>p_j$ ，则造成 $(j-i)(p_i-p_j)(n-cnt_A)!$ 的贡献（ $cnt_A$ 为 $A$ 的二进制中 $1$ 的个数）。

• $j$ 的位置已经确定

  $i$ 能选的位置为 $\setminus A$（ $A$ 对全集取补），尝试让 $\setminus A$ 与 $j$ 匹配，只有 $\setminus A$ 中大于 $j$ 的数才能得配，匹配结果是这个数减 $j$ 。设 $\setminus A$ 所有数的总匹配结果为 $t$ ，它对答案的贡献即为 $(j-i)t(n-cnt_A-1)!$

• $i$ 的位置已经确定

  与上一种其实没什么区别，只是 $i$ 去匹配 $\setminus A$ 罢了。

• $i,j$ 的位置均未确定

这次是一个集合匹配一个集合，在外面通过情况二来预处理。假设总匹配结果为 $t$ ，对答案的贡献即为 $(j-i)t(n-cnt_A-2)$

要注意固定数时如果有两个数共用了一个位置（即 $p$ 相等），那这个贡献就直接为 $0$ 了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
int cnt[(1<<16)+5],bin[(1<<16)+5],sum[(1<<16)+5];
int Sum[(1<<16)+5];
ll fac[18];
int n,p[18];

ll f1(int S,int pos)
{
    S=(S|((1<<(pos+1))-1))^((1<<(pos+1))-1);
    return sum[S]-cnt[S]*pos;
}

ll f2(int pos,int S)
{
    S=S&((1<<pos)-1);
    return cnt[S]*pos-sum[S];
}

ll solve(int A,int B)
{
    ll ans=0;
    FOR(i,0,n-1)FOR(j,i+1,n-1)
    {
        if((A>>i&1)&&(A>>j&1))
        {
            if(p[i]>p[j])
                ans+=(j-i)*(p[i]-p[j])*fac[n-cnt[A]];
        }
        else if(!(A>>i&1)&&(A>>j&1))
        {
            ans+=(j-i)*f1(((1<<n)-1)^B,p[j])*fac[n-cnt[A]-1];
        }
        else if((A>>i&1)&&!(A>>j&1))
        {
            ans+=(j-i)*f2(p[i],((1<<n)-1)^B)*fac[n-cnt[A]-1];
        }
        else ans+=(j-i)*Sum[((1<<n)-1)^B]*fac[n-cnt[A]-2];
    }
    return ans;
}
 
int main()
{
    fac[0]=1;FOR(i,1,16)fac[i]=fac[i-1]*i;
    FOR(i,1,1<<16)cnt[i]=cnt[i^lowbit(i)]+1;
    FOR(i,2,1<<16)bin[i]=bin[i>>1]+1;
    FOR(i,1,1<<16)sum[i]=sum[i^lowbit(i)]+bin[lowbit(i)];
    FOR(i,1,1<<16)Sum[i]=Sum[i^lowbit(i)]+f1(i^lowbit(i),bin[lowbit(i)]);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        FOR(i,0,n-1)scanf("%d",&p[i]),p[i]--;
        ll ans=0;
        FOR(i,0,(1<<n)-1)
        {
            int S=0;
            bool flg=1;
            FOR(j,0,n-1)if(i>>j&1)
            {
                if(S&(1<<p[j]))
                {
                    flg=0;
                    break;
                }
                S|=1<<p[j];
            }
            if(!flg)continue;
            if(cnt[i]&1)ans-=solve(i,S);
            else ans+=solve(i,S);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}