4D向量和4x4矩阵不过是对3D运算的一种方便的记忆而已。

4D齐次空间

4D向量有4个分量，前3个是标准的x，y和z分量，第4个是w，有时称作齐次坐标。

为了理解标准3D坐标是怎样扩展到4D坐标的，让我们先看一下2D中的齐次坐标，它的形式为（x, y, w）。想象在3D中w=1处的标准2D平面，实际的2D点(x, y)用齐次坐标表示为(x, y, 1)，对于那些不在w=1平面上的点，则将它们投影到w=1平面上。所以齐次坐标(x, y, w) 映射的实际2D点为（x/w, y/w）。如图9.2所示：

因此，给定一个2D点（x, y），齐次空间中有无数多个点与之对应。所有点的形式都为(kx, ky, k)，k≠0。这些点构成一条穿过齐次原点的直线。

当w=0时，除法未定义，因此不存在实际的2D点。然而，可以将2D齐次点(x, y, 0)解释为"位于无穷远的点"，它描述了一个方向而不是一个位置。

4D坐标的基本思想相同，实际的3D点被认为是在4D中w=1"平面"上。4D点的形式为(x, y, z, w)，将4D点投影到这个"平面"上得到相应的实际3D点（x/w, y/w, z/w）。w=0时4D点表示"无限远点"，它描述了一个方向而不是一个位置。

4 X 4 平移矩阵

3x3变换矩阵表示的是线性变换，不包括平移。因为矩阵乘法的性质，零向量总是变换成零向量。因此，任何能用矩阵乘法表达的变换都不包含平移。这很不幸，因为矩阵乘法和它的逆是一种非常方便的工具，不仅可以用来将复杂的变换组合成简单的单一变换，还可以操纵嵌入式坐标系间的关系。如果能找到一种方法将3x3变换矩阵进行扩展，使它能处理平移，这将是一件多么美妙的事情啊。4x4矩阵恰好提供了一种数学上的"技巧"，使我们能够做到这一点。

暂时假设w总是等于1。那么，标准3D向量[x, y, z]对应的4D向量为[x, y, z, 1]。任意3x3变换矩阵在4D中表示为：

任意一个形如[x, y, z, 1]的向量乘以上面形式的矩阵，其结果和标准的3x3情况相同，只是结果是用w=1的4D向量表示的：

现在，到了最有趣的部分。在4D中，仍然可以用矩阵乘法来表达平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：

记住，即使是在4D中，矩阵乘法仍然是线性变换。矩阵乘法不能表达4D中的"平移"，4D零向量也将总是被变换成零向量。这个技巧之所以能在3D中平移点是因为我们实际上是在切变4D空间。与实际3D空间相对应的4D中的"平面"并没有穿过4D中的原点。因此，我们能通过切变4D空间来实现3D中的平移。

设想没有平移的变换后接一个有平移的变换会发生什么情况呢？设R为旋转矩阵（实际上，R还能包含其他的3D线性变换，但现在假设R只包含旋转），T为形如公式9.10的变换矩阵：

将向量v先旋转再平移，新的向量**v'**计算如下：

v' = vRT

注意，变换的顺序是非常重要的。因为我们使用的是行向量，变换的顺序必须和矩阵乘法的顺序相吻合（从左到右），先旋转后平移。

和3x3矩阵一样，能将两个矩阵连接成单个矩阵，记作矩阵M，如下：

Ｍ = RT

v' = vRT = v(RT) = vM

观察M的内容：

注意到，M的上边3x3部分是旋转部分，最下一行是平移部分。最右一列为[0, 0, 0, 1]T。逆向利用这些信息，能将任意4x4矩阵分解为线性变换部分和平移部分。将平移向量[△x, △y, △z]记作t，则M可简写为：

接下来看w=0所表示的 "无穷远点"。它乘以一个由"标准"3x3变换矩阵扩展成的4x4矩阵（不包含平移），得到：

换句话说，当一个形如[x, y, z, 0]的无穷远点乘以一个包含旋转、缩放等的变换矩阵，将会发生预期的变换。结果仍是一个无穷远点，形式为[x, y, z, 0]。

一个无穷远点经过包含平移的变换可得到：

注意到结果是一样的（和没有平移的情况相比）。换句话说，4D向量中的w分量能够"开关"  4x4 矩阵的平移部分。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作"点"，第二类数据当作"向量".

使用4x4矩阵的一个原因是4x4变换矩阵能包含平移。当我们仅为这个目的使用4x4矩阵时，矩阵的最后一列总是[0, 0, 0, 1]T。既然是这样，为什么不去掉最后一列而改用4x3矩阵呢？根据线性代数法则，由于多种原因，4x3矩阵不符合我们的需求，如下：

（1）不能用一个4x3矩阵乘以另一个4x3矩阵。

（2）4x3矩阵没有逆矩阵，因为它不是一个方阵。

（3）一个4D向量乘以4x3矩阵时，结果是一个3D向量。

为了严格遵守线性代数法则，我们加上了第4列。当然在代码中，可以不受代数法则的约束。