2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

Wesley13
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前言

比赛完第一天就开始着手写这篇文章,思维可能有点局限性,如果有更好的思路和想法可以评论出来,一起讨论学习。

完整所有的题目下载(无需积分):2020数学建模赛题

题目整理:

同时已经对该题目给出如下的分析和整理

  • 黄色代表:题目已给出的条件
  • 紫色代表:需要注意考虑的点
  • 蓝色代表:需要解决的问题

2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

题目分析

作为工科生,尤其是专业就是学习这方面,一看题目就能快速理解回焊炉的整体工作流程,并着手开始思考分析题目的问题和其中涉及的难点。

关于热传递的三种基本方式:
  1. 热传导(傅里叶热传导方程)
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  2. 热对流(牛顿冷却公式)
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  3. 热辐射
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

    参考自:[SMT再流焊温度场的建模与仿真_黄丙元]

PCB板基本材料特性

2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

参考自:[PCB板热特性分析与研究_邓志勇] 

问题一

思路一:

此时根据 [基于Ansys_Icepak的板级回流焊接建模与仿真_姚焕] 论文给出的假设:
2020年大学生数学建模A题:炉温曲线
此时假设研究对象为全热风回流焊炉,只考虑热对流和热辐射两种,忽略热传递的计算,也就是不考虑中间的5cm间隔之间的热传导

关键点:根据附件和温区温度,反推求出每个温区的对流传热系数(hc)

  1. 先使用附件中的温度时间变化曲线为条件,使用:各温区热能 = 各温区热对流 + 各温区热辐射
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

    列出公式反推出每个温区的传热系数(hc)

  2. 此时各温区的hc已知,利用 Q = 各温区热对流 + 各温区热辐射 计算得出1-5小温区、6小温区、7小温区、8-9小温区的热量;

2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  1. 各温区能量对各温区的时间进行微分,求出当t->0时,热量的大小;
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  2. 此时根据第一时刻温度25℃,以t=0.5进行积分,算出0.5s吸收的热量,转换为温度;
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  3. 写一个递归函数,以第一时刻25℃为边界起始条件,不断进行递归,即可求出后面每隔0.5s的温度值;

  4. 将所有对应的时间和温度值使用MATLAB放入一个二维矩阵,然后通过curve fitting拟合出来最终的方程式;

  5. 根据将要求的对应温区的中点时间计算得出;
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  6. 时间带入拟合出来的方程即可得到每个对应中点的温度值;
    2020年大学生数学建模A题:炉温曲线

  7. 将时间和拟合方程式用plot即可画出炉温曲线;

此时做出的曲线不出意外应该是直线那种,不过因为斜率不同,导致变化,但不平滑。

思路二:

即考虑每个小温区间的5cm间隔

  1. 此时只需要在思路一的基础上使用热传导方程;
  2. 因为能量总是由能量高的地方向能量低的方向流动
  3. 使用热传导方程算出下一个小温区向前一个小温区的热量即为5cm间隔的热量;
  4. 把5cm这段时间内的热量根据前一个温区的末尾温度为起始边界条件,即可算出5cm间隔内每隔0.5s的温度值;

问题二

  1. 根据第一问得出的各温区传热系数、题目的制程界限题目中的温度,还有过炉速度的调节范围为65~100,列出相应的约束条件
  2. MIN过炉速度为目标函数,建立相应的单目标最优化数学模型,使用LINGO求得最优过炉速度;

问题三

思路一:

假设:

  • 炉温曲线超过217℃到峰值温度所覆盖的面积:A

针对此问题,可以很明确知道这一问是多目标多优化的模型问题,我的想法如下:

  1. 使用控制变量法来求解;
  2. 同样使用第二问的一些约束条件为基准;
  3. 先使用附录和题目一、二问的各温区温度求平均做为该题设定的初始化温度;
  4. 控制温度先不变,然后使用二分法对回炉速度进行一个合理范围的划分和得出
  5. 关键点:此时以覆盖面积A MIN最小为目标函数,反推求出每个温区的设定范围;
  6. 此时因为回炉速度、各区间温度都在很小的范围内,计算量大大减小;
  7. 然后使用三重循环迭代,求出面积最小时的回炉速度、各温区的温度
思路二:

无脑暴力破解法

此方法计算量大,消耗时间,并不推荐。

此方法简单,在回炉速度、各温区温度限定范围内,以覆盖面积A MIN最小为目标函数,一直跑的试,直到跑完后,比较得出相应最小面积下的的各温区温度和最佳锅炉速度。

问题四

此问题,想法不多,但可以分享下:

  1. 假设出 t=开始高于217℃的瞬时的时间t1=开始低于217℃的瞬时的时间
  2. 可以知道:温度上升时的导数和下降时的导数相等即为曲线对称
  3. 所以从两端tt1向中间(t+t1)/2的时间走,进行求导比较
  4. 此时应该可以继续使用问题3的思路一进行求解了。

此问题,说是问题3的优化,也有那么点感觉,但又没什么想法,反正蛮难受的。

参考文献

1. 表面贴装工艺生产线上回流焊曲线的优化与控制_高金刚
2. SMT温度场的数学模型_黄丙元
3. SMT再流焊温度场的建模与仿真_黄丙元
4. PCB板热特性分析与研究_邓志勇
5. XX线路板表面贴装焊接工艺研究_张疏影
6. 基于Ansys_Icepak的板级回流焊接建模与仿真_姚焕
7. 牛顿冷却定律及其实际应用_郭文传
8. 基于加热机理分析的回流焊过程仿真建模与有限元分析_宋巍
9. 多层印刷电路板组件结构的热_力分析_吴许杰
10.印制电路制程过程中互连区域的热力学仿真研究_曾亮 

结束

多多少少写了一下午,大体提供一下我的想法和做题的思路,具体的代码论文也就不放了,菜鸡文章,同时后期有什么也会一直修改文章,希望大家多多评论思考呀!!!
如果有任何问题,欢迎留言纠正,秉着学习的态度,大家一起思考解决。☺

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